Алексей Копайгородский родился 26 марта 1985 года в Краснодаре.
В 2008 году окончил Краснодарское высшее военное училище имени С. М. Штименко по специальности «комплексная защита объектов информатизации». Спустя четыре года получил специальность «юриспруденция» во Владимирском юридическом институте ФСИН. После обучался в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ по специальности «Государственное и муниципальное управление».
Копайгородский имеет степень кандидата педагогических наук.
С 2003 по 2013 годы служил в ВС РФ.
Женат. С супругой воспитывает пятерых детей.
С января 2014 по сентябрь 2015 года работал замначальника управления по работе с политическими партиями, общественными объединениями и межнациональным отношениям департамента внутренней политики администрации Краснодарского края, главой отдела общественно-политического мониторинга.
С сентября 2015 по февраль 2016 года занимал должность замдиректора департамента внутренней политики администрации региона. С февраля 2016 по март 2017-го был замглавы Краснодара. В марте 2017 стал директором департамента внутренней политики администрации Краснодарского края.
В сентябре 2017 года Копайгородского утвердили на пост заместителя главы Кубани.
В Сочи Алексей Копайгородский начинал с должности первого замглавы 9 сентября 2019 года. Спустя два дня занял место мэра Сочи.
10 декабря 2020 в связи с исключением Сириуса из состава города-курорта был переизбран.
14 мая 2024 года он покинул пост главы Сочи, как сообщалось, из-за перехода на другую должность. Позже появилась информация, что он ушел добровольцем в зону проведения специальной военной операции.
25 сентября стало известно, что Копайгородский был задержан в Луганске, в отношении бывшего главы Сочи проводятся следственные действия. У его бывшего зама Бурлева и главы Хостинского района Савина идут обыски.